Diálogo, Ingrid Bohórquez

Razonamiento incorrecto

Anónima – ¡Oh! querido muchacho hace días te he escuchado preguntar sobre si se puede recorrer una cosa de magnitud infinita en un tiempo finito. ¿Es correcto lo que estoy diciendo sobre tu preocupación?

Jerónimo – Así es.

Anónima – ¿Pero por qué te ha surgido esta pregunta?

Jerónimo – Me ha surgido porque he escuchado últimamente a los hombres decir que Aquiles el hombre más rápido de Atenas no puede alcanzar a la tortuga más lenta. Y no la puede alcanzar, porque, la tortuga tiene una ventaja sobre él y cuando intenta atraparla, cuando Aquiles llega al punto donde ella estaba, ella se ha adelantado nuevamente y así sucesivamente. Es decir, cuando Aquiles llega al nuevo punto donde la tortuga está, ella ya ha avanzado.

Anónima – ¡ah querido muchacho! ya entiendo el porqué de tu preguntar, es cierto, Zenón de Elea nos ha puesto bajo una encrucijada bien complicada y al parecer no se puede salir de ella, al parecer él tiene la razón. Pero yo te puedo asegurar que no es así. Pues él está haciendo un razonamiento incorrecto. Si quieres saber por qué te digo esto, permíteme que te haga saber los argumentos.

Jerónimo – Claro que sí quiero que me los hagas saber. Pues lo común para nosotros es debatido de forma lógica por Zenón, de tal manera que me hace creer que estamos engañados y que lo que nuestro entendimiento común comprende es un engaño, una ilusión.

Anónima – Para empezar quiero que con tu ayuda aclaremos las siguientes cuestiones. ¿Qué quiere decir que la magnitud sea infinita? Pero antes de responder esta pregunta ¿qué es lo infinito?

Jerónimo – Ummm. Lo infinito lo pienso respecto de los números, es decir, no hay un fin de los números, ni positivamente ni negativamente, estos no tienen límite.

Anónima – Sabes me gusta tu respuesta, es muy acertada y me permite explicarte dos cosas. La primera, concuerdo contigo de que lo infinito no tiene fin, límite. A saber, se extiende y no podemos decir que el número 1.000 es el fin de los números positivos, de igual manera argumentamos respecto a los números negativos. En este punto no solo quiero que pienses solo matemática sino también físicamente, pues del universo tampoco podemos afirmar cuál es su fin. ¿Entiendes lo que te digo?

Jerónimo – Según entiendo lo que me dices, en la naturaleza, como en lo que versa la física, también hay cosas infinitas.

Anónima – Así es. Retomando lo anterior, la segunda cosa que te quería decir es que lo infinito se dice en dos sentidos, en división y en extensión. En división cuando hablamos de que algo se divide, pero eso divisible también se puede dividir y así sucesivamente. Pero para que entiendas mejor te voy a poner un ejemplo, imagina que un corredor debe recorrer desde un lugar B a un lugar D, pero antes de llegar a ese punto debe recorrer la mitad de esa distancia marcada por B y D, pero para llegar a esa mitad de la mitad, debe llegar a la mitad de esa mitad y así sucesivamente. Es decir, esa distancia a recorrer entre B y D es infinitamente divisible. Y en cuanto a lo infinito en extensión, podemos pensarlo en adición, es decir debes sumar hacia el infinito, debes pensar que se aumenta. Por esto como te decía anteriormente me parece acertada tu disertación ¿en qué sentido? En el sentido en que tú decías que los números no tienen un fin ni positiva ni negativamente. ¿Entiendes lo que te digo y estás de acuerdo con mis argumentos?

Jerónimo – Estoy de acuerdo con lo que has dicho y pido, por favor, que continúes con tu disertación.

Anónima – Ya habiendo aclarado lo infinito, nos resta responder la pregunta sobre la magnitud infinita. Para aclararte esto quiero que aceptes que toda cosa que existe tiene magnitud y si algo no tiene magnitud no puede existir. Pero la magnitud es continua y lo continuo tiene partes y extremos. A saber, la magnitud es divisible y en la medida que es divisible es infinita, pues sus partes se dividen infinitamente.

Déjame decirte que tu preocupación inicial - sobre cómo una magnitud infinita puede ser recorrida en un tiempo finito- es incorrecta. E incorrecta en el sentido de que es imposible recorrer en un tiempo finito una magnitud infinita como puedes ver lógicamente esto es visible y aceptable. Lo que no podemos aceptar es que el tiempo sea finito, pues si la magnitud es infinita el tiempo también debe serlo. Así que el tiempo también es un continuo y como mencionamos anteriormente, lo continuo tiene partes y extremos. Y en la medida que sea continuo es divisible, a saber, el tiempo también es infinito. ¿Haz entendido lo que te he explicado?

Jerónimo – Sí lo he entendido y creo poder resolver la muy conocida paradoja de Zenón de Aquiles y la tortuga. Si entendí bien Aquiles puede alcanzar a la tortuga siempre y cuando tanto la magnitud como el tiempo sean infinitos. Aunque la tortuga le lleve una delantera a Aquiles, él en un tiempo y en magnitud infinito alcanzará la tortuga. Tal vez de esta manera no sea tan clara la explicación, pero si me permites hacer uso de la progresión geométrica creo que será más clara mi explicación. A ver, voy a intentar explicar por medio de la progresión geométrica en qué tiempo y magnitud infinita Aquiles alcanza a la tortuga. Al momento de la salida Aquiles se encuentra en la posición inicial 0 mientras la tortuga en la posición inicial de 100 metros; cuando Aquiles al cabo de los 10 segundos llega a los 100 metros (que es lo que tarda en recorrer los 100 m), la tortuga está 10 metros más adelante y empleado el mismo tiempo que Aquiles, a saber 10 segundos. Cuando Aquiles llega a los 110 metros la tortuga ha avanzado un metro y para estos metros han empleado los dos corredores 11 segundos. Si seguimos en esta progresión geométrica nos damos cuenta que al cabo de los 11,111… tanto los metros como el tiempo empleado en la carrera Aquiles alcanza a la tortuga.

Ahora al igual que tú quiero saber si mi explicación ha sido clara, has entendido y estás de acuerdo con ella.

Anónima – Me parece que tu explicación ha sido clara, pues demuestras como puede ser resulta la paradoja. Si bien la progresión geométrica nos sirve para entender cómo se resuelta la paradoja, no debes olvidar que de lo que estamos tratando aquí es de las cosas físicas; y debes tener en cuenta que la matemática en su totalidad no nos permite dimensionar el razonamiento falso y nos desvía de que lo que estamos discutiendo, de lo físico. También me parece que comprendes en qué consiste la imposibilidad de la paradoja de Zenón, pues es cierto que una magnitud infinita no se puede recorrer en un tiempo finito; y precisamente, porque lo infinito rebasa lo finito. De tal manera que la imposibilidad se soluciona entendiendo que tanto el tiempo como la magnitud son infinitas. Si estos – el tiempo y la magnitud- son infinitos podemos resolver la paradoja.

Para finalizar quiero resaltar que de nuestra percepción es difícil dudar, pues si dudamos de ella nos es difícil dar cuenta de este mundo que nos rodea, que está ahí y se nos presenta por medio de ella. Así que aunque lógicamente parezca que somos engañados, no lo es así para mí. Pues si desconfiamos de lo que nos permite dar cuenta del mundo de la vida, cabe preguntarnos qué nos permite dar cuenta de este aquí y ahora. Querido muchacho espero te hayan servido mis argumentos para comprender y responder a tu pregunta.

Jerónimo – A ti te agradezco por haberte tomado el tiempo de hacerme entender esta paradoja.

Tema: Zenón, Fragmentos. Aristóteles, Física, VI, 1-2, 9.
Aristóteles. (1995). Física. (G. De Echandía, Trans.). Madrid: Gredos.